Теорема о решётке

Пусть ЧУМ $(A, \leq)$ порожден решеткой $(A, \lor, \land)$. Тогда в $(A, \leq)$ для любой пары элементов $a, b \in A$ определены супремум и инфимум, причем $\sup(a, b) = a \lor b$ и $\inf(a, b) = a \land b$.

Пусть ЧУМ $(A, \leq)$ порожден решеткой $(A, \lor, \land)$. Надо доказать, что $\sup(a, b)$ существует и равен $a \lor b$ для любых $a, b \in A$. (Доказательство для $\inf(a, b) = a \land b$ проводится аналогично). ** 1. $a \lor b$ — верхняя грань для $\{a, b\}$:** По свойству поглощения в решетке: $a \land (a \lor b) = a$. Это означает $a \leq (a \lor b)$ по определению отношения порядка в решетке (где $x \leq y \iff x \land y = x$). Аналогично, $b \land (a \lor b) = b \implies b \leq (a \lor b)$. ** 2. $a \lor b$ — наименьшая верхняя грань для $\{a, b\}$:** Пусть $x$ — произвольная верхняя грань для $\{a, b\}$, то есть $a \leq x$ и $b \leq x$. По определению отношения порядка в решетке (где $y \leq z \iff y \lor z = z$), из $a \leq x$ следует $a \lor x = x$, и из $b \leq x$ следует $b \lor x = x$. Тогда: $(a \lor b) \lor x = a \lor (b \lor x)$ (по ассоциативности операции $\lor$) $= a \lor x$ (так как $b \lor x = x$) $= x$ (так как $a \lor x = x$) Из $(a \lor b) \lor x = x$ следует, что $(a \lor b) \leq x$. Следовательно, $a \lor b = \sup(a,b)$. $\square$